От сетевых эффектов до функций Ляпунова: как математические модели объясняют поведение систем и сообществ

Статьи infrastructure product management

Привет всем! На связи Лера, технический писатель в Авито. Сегодня хочется поделиться обзором на книгу «Модельное мышление» Скотта Пейджа.

Эта книга о том, почему для понимания мира нам недостаточно одной красивой идеи, как разные модели помогают объяснять поведение людей, продуктов, рынков и технологий.

Книгу ещё и просто любопытно читать: по пути автор вспоминает множество теорий, историй, экспериментов и исследований из экономики, социологии и теории игр. В первых главах Скотт Пейдж довольно настойчиво убеждает читателя в главной идее книги — мыслить моделями. Он показывает, что сложные явления почти никогда нельзя объяснить одной причиной или одним фреймворком.

Особенно это заметно в социальных науках: поведение людей, рынков или технологий зависит от множества факторов, которые постоянно взаимодействуют друг с другом. В отличие от многих точных наук, вроде физики и математики, здесь тяжелее вывести аксиому или тождество и навсегда описать систему. Во многом это похоже на развитие продукта или работу с пользователями: слишком много переменных, чтобы полагаться на одно объяснение. Именно поэтому автор предлагает смотреть на мир через набор моделей — разных, иногда даже противоречащих друг другу.

Скотт Пейдж — американский ученый, профессор Мичиганского университета и исследователь сложных систем. Ранее он преподавал в Калифорнийском технологическом институте (Caltech). Он уже много лет изучает, как люди принимают решения в условиях сложных и непредсказуемых систем — от экономики и политики до технологий. Пейдж известен не только академическими исследованиями, но и популярным курсом Model Thinking.

Разберёмся с определением. Что такое модель

В повседневной речи слово «модель» часто ассоциируется с формулами или сложной математикой, но в контексте книги оно означает гораздо более простую вещь. Модель — это упрощённое представление реальности, которое помогает понять, как работает система.

Любая модель отбрасывает часть деталей, чтобы сфокусироваться на ключевых механизмах. Именно благодаря этому упрощению мы можем анализировать сложные явления: рынки, поведение людей, развитие технологий или распространение идей. Модель не претендует на то, чтобы идеально описывать мир — её задача помочь нам лучше думать о нём.

Для чего мыслить несколькими моделями

Первые три главы можно смело пропускать, если вы уже интуитивно согласны с идеей, что мир сложнее одной формулы. Скотт Пейдж довольно настойчиво «продаёт» главную мысль всей книги: сложные явления почти никогда нельзя объяснить одной моделью. В книге есть несколько хороших аргументов и примеров, которые помогают понять, почему модельное мышление вообще нужно.

Главная проблема в том, что большинство процессов, с которыми мы сталкиваемся — особенно в экономике, обществе или технологиях — зависят от множества факторов одновременно. Да, в физике есть модели, которые позволяют очень точно предсказывать поведение систем в определённых условиях — например, движение тела или распространение волн. Но по мере усложнения системы даже там появляются нелинейность, хаос и ограничения предсказуемости.

В социальных системах эта сложность проявляется ещё сильнее: на результат одновременно влияют поведение людей, контекст, случайность и структура взаимодействий. Поэтому одна модель почти всегда показывает лишь часть картины — и чтобы понять систему, приходится смотреть на неё с нескольких сторон.

Чтобы это объяснить, Пейдж приводит несколько классических примеров из экономики и других социальных наук. Один из них — теория игр, где даже простые ситуации показывают, насколько поведение системы зависит от выбранной модели. Например, знаменитая дилемма заключённого демонстрирует, что рациональные решения отдельных людей могут приводить к невыгодному результату для всех участников. Но если изменить условия игры — добавить повторяемость взаимодействий или возможность кооперации — результат становится совершенно другим.

Другой подробный пример про модели поведения людей

Экономист Томас Шеллинг предложил простую модель, чтобы объяснить, почему в городах люди часто группируются по национальности или социальному статусу, даже если сами люди не стремятся к жёсткому разделению. Представим шахматную доску, где клетки — это дома, а жители — фишки двух разных типов. У каждого человека есть очень слабое предпочтение: например, чтобы хотя бы треть соседей была «похожа» на него. Это не радикальное требование — большинству людей всё равно, кто живёт рядом, пока они не оказываются в явном меньшинстве.

Но когда каждый начинает принимать решения локально — переезжать, если вокруг слишком мало «своих» — система постепенно начинает меняться. Несколько переездов запускают цепную реакцию: новые соседи тоже оказываются в меньшинстве и принимают такое же решение. В результате из множества мелких, почти нейтральных предпочтений возникает сильный системный эффект — районы постепенно становятся почти полностью однородными.

Этот пример показывает: крупные социальные явления могут возникать не из сильных намерений людей, а из совокупности множества маленьких решений. И без модели такой эффект почти невозможно увидеть. Интуитивно кажется, что сегрегация должна быть результатом сильных предубеждений или политики, но модель Шеллинга показывает, что иногда достаточно очень слабых индивидуальных предпочтений, чтобы система сама пришла к разделению. Именно такие неожиданные эффекты и пытается объяснить модельное мышление.

Такие примеры нужны чтобы продемонстрировать мысль: ни одна модель не способна полностью объяснить сложную систему. Каждая из них подсвечивает только один механизм — стимулы, сети взаимодействий, обратные связи или поведенческие эффекты. Поэтому, чтобы действительно понять явление, нужно смотреть на него сразу через несколько моделей. Именно этому и посвящена остальная часть книги.

Типы моделей

Первый тип — репрезентативные модели

Это модели, которые описывают реальность и пытаются её приблизительно воспроизвести. Они помогают структурировать явление и показать, какие элементы в нём важны. Например, экономические модели спроса и предложения. Они не описывают каждый конкретный рынок идеально, но позволяют понять базовый механизм: если цена растёт, спрос обычно падает, а предложение — увеличивается. Такие модели полезны тем, что дают простую карту сложного явления.

Второй тип — объяснительные модели

Их цель — не просто описать явление, а показать, почему оно происходит. Модель сегрегации Шеллинга как раз относится к этому типу. Она не пытается точно воспроизвести реальный город, но объясняет механизм, из-за которого возникает сегрегация: локальные решения людей могут создавать неожиданные глобальные эффекты. Такие модели часто используются в социальных науках, чтобы показать скрытые причины процессов.

Третий тип — исследовательские модели

Их используют, чтобы изучать возможные сценарии и проверять гипотезы. Они помогают понять, что может произойти, если изменить условия системы. Например, в экономике и теории игр такие модели показывают, как будут вести себя участники при разных правилах взаимодействия. Если изменить стимулы, правила обмена или структуру сети —поведение системы может кардинально поменяться.

Пейдж подчеркивает, что разные типы моделей выполняют разные задачи. Одни помогают увидеть структуру, другие — объяснить причины, третьи — исследовать последствия решений. Именно поэтому для понимания сложных систем важно использовать не одну модель, а набор разных моделей, каждая из которых подсвечивает свою часть реальности.

Области применения моделей

Модели используются в самых разных областях — от экономики и политики до инженерии и бизнеса. По сути, модельное мышление — это универсальный инструмент анализа сложных систем.

Есть семь основных задач, для которых применяются модели.

Задача модели	Чтобы
Объяснять явления	Понять, почему происходят те или иные процессы
Прогнозировать	Предсказать возможные результаты
Принимать решения	Выбрать стратегию среди нескольких вариантов
Проектировать системы	Создавать сложные системы
Исследовать сценарии	Проверить «что будет, если…»
Выявлять скрытые механизмы	Показать причины, которые не видны напрямую
Обучать и объяснять	Сделать сложные идеи понятнее

Кажется, с основой мы разобрались. Теперь давайте перейдём к разбору нескольких моделей, которые показались мне самыми интересными и полезными.

Пороговая модель

Основные тезисы:
• новые идеи редко распространяются равномерно — чаще всего они проходят точку перелома и начинают расти лавинообразно;
• для запуска изменений важны люди с низким порогом — те, кто готов пробовать новое раньше других;
• иногда достаточно небольшой группы первых участников, чтобы запустить цепную реакцию во всей системе.

Пороговая модель объясняет, почему многие социальные изменения происходят не постепенно, а скачками. Суть в том, что люди редко принимают решения независимо от других. Часто мы готовы изменить своё поведение только после того, как видим, что это уже сделали окружающие.

У каждого человека есть свой порог — доля или количество людей вокруг, которые уже приняли новое поведение, после которого он сам готов присоединиться. У кого-то порог очень низкий: такие люди готовы пробовать новое первыми. У других он выше — им важно увидеть, что новшество уже стало достаточно распространённым.

Если представить сообщество, где у каждого человека свой порог, можно увидеть интересный эффект. Несколько людей с нулевым или очень низким порогом действуют первыми. Их действия снижают барьер для остальных — тех, чей порог немного выше. Затем подключается следующая группа, и процесс начинает ускоряться. В какой-то момент система достигает критической точки, после которой изменение распространяется лавинообразно.

Именно так появляются тренды, распространяются технологии и меняются социальные нормы.

В книге Скотт Пейдж ссылается на работы экономиста Марка Грановеттера, который разработал одну из классических пороговых моделей коллективного поведения. В его модели люди решают, участвовать ли в каком-то действии — например, в протесте — в зависимости от того, сколько других людей уже участвуют.

Грановеттер показывает, что даже небольшие различия в порогах могут радикально менять результат. В одной группе может возникнуть массовое движение: первые участники запускают цепную реакцию. В другой — ничего не произойдёт, потому что не находится достаточного числа людей с низким порогом, чтобы запустить этот процесс.

Пороговая модель хорошо объясняет, почему похожие общества иногда реагируют на события совершенно по-разному: всё зависит от распределения порогов внутри системы.

Модель ценностей и влияния

Основные тезисы:
решения людей почти никогда не являются полностью индивидуальными — на них всегда влияет окружение;
распространение технологий, идей и продуктов зависит не только от их качества, но и от того, кто ими пользуется;
изменение поведения в системе часто начинается с изменения социальных сигналов, а не самих убеждений людей.

Модель ценностей и влияния объясняет, как люди принимают решения под воздействием двух факторов: собственных предпочтений и влияния окружающих. С одной стороны, у каждого человека есть личные ценности,убеждения, интересы, вкусы. С другой — на нас постоянно влияет окружение: друзья, коллеги, общественные нормы или популярные мнения.

Поведение в таких моделях формируется на пересечении этих двух сил. Иногда человек следует своим убеждениям, а иногда — адаптируется к группе.

Если ценность чего-то в личной системе координат сильнее, человек действует независимо. Но если влияние окружения становится значительным, люди начинают менять своё поведение, чтобы соответствовать группе. За счёт этого и существует конформизм или мода.

Существует множество классических экспериментов, которые показывают, как сильно мнение группы влияет на человека. Один из самых известных — эксперимент психолога Соломона Аша.

Участникам показывали карточки с линиями и просили выбрать ту, которая совпадает по длине с образцом. Задание было простым — правильный ответ очевиден. Но в группе были подставные участники, которые специально называли неправильный вариант.

Результат оказался неожиданным: многие люди соглашались с очевидно неверным мнением группы. Даже когда участники видели, что ответ неправильный, давление окружения заставляло их менять своё решение. Эксперимент показал, что социальное влияние может перевешивать даже очевидные факты.

Модель ценностей и влияния помогает понять, почему поведение людей часто меняется не из-за новых аргументов, а из-за изменения социального контекста.

Модель обратной связи

Основные тезисы:
• многие процессы в сложных системах усиливают сами себя;
• рост продуктов и технологий часто связан с положительной обратной связью;
• для стабильности систем важны механизмы отрицательной обратной связи.

Модель обратной связи описывает ситуации, когда действия внутри системы начинают влиять на саму систему и усиливают или ослабляют дальнейшие изменения.

В таких моделях результат одного процесса становится входом для следующего. Это создаёт циклы, которые могут либо усиливать изменения, либо стабилизировать систему.

Существует два основных типа обратной связи:

Положительная обратная связь усиливает изменения. Небольшой импульс постепенно становится всё сильнее. Именно так распространяются тренды, растут популярные продукты или усиливаются сетевые эффекты.

Отрицательная обратная связь, наоборот, стабилизирует систему. Она снижает отклонения и возвращает систему к равновесию. Такие механизмы часто встречаются в инженерных системах или экономике.

В книге Пейдж приводит примеры экономических и социальных процессов, где обратная связь играет ключевую роль. Например, рост популярности продукта может усиливать сам себя: чем больше людей его используют, тем полезнее он становится для новых пользователей.

Но в других случаях система стремится к балансу. Например, когда цена товара растёт, спрос начинает снижаться, и рынок постепенно возвращается к равновесию.

Таким образом, обратная связь объясняет, почему одни процессы становятся самоусиливающимися, а другие — саморегулирующимися.

Сетевые модели

Основные тезисы:
• распространение идей зависит не только от их качества, но и от структуры сети;
• люди с большим количеством связей могут играть непропорционально большую роль в распространении информации;
• наше восприятие социальных процессов зачастую неполное, так как мы не видим за общением сеть коммуникаций — например, из-за парадокса дружбы.

Сетевые модели помогают понять, как распространяются идеи, технологии и информация в системах, где элементы связаны друг с другом. В таких моделях важно не только поведение отдельных участников, но и структура связей между ними.

Система представляется в виде сети: есть узлы (люди, компании, сервисы) и связи между ними (дружба, сотрудничество, обмен информацией). То, как именно устроена эта сеть — кто с кем связан и сколько у кого связей — напрямую влияет на то, как распространяются идеи и поведение.

Сети выполняют несколько функций одновременно: через них передаются информация, влияние, ресурсы и возможности. Например, через профессиональные контакты люди узнают о вакансиях, через научные сообщества распространяются новые идеи, а через социальные сети — тренды и технологии. Поэтому сама архитектура сети может сильно влиять на то, как быстро и куда именно распространяются новшества.

Чтобы описывать жизнь систем, в сетевых моделях используют несколько базовых характеристик. Например, степень узла — количество связей у участника. У кого-то их может быть всего несколько, а у кого-то десятки или сотни. Такие участники часто оказываются центральными точками сети, через которые проходит большая часть информации.

Один из интересных эффектов, связанных с сетями, — так называемый парадокс дружбы. Он звучит немного контринтуитивно: в среднем у ваших друзей больше друзей, чем у вас.

Близкие друзья узла (C) и случайные друзья (R)

Предположим, каждый узел имеет 100 близких друзей (C), которые дружат друг с другом, и 20 случайных друзей (R), у которых нет общих друзей с узлом. Вычислим количество соседей разных степеней:

Степень 1: C + R = 120

Степень 2: CR + RC + RR = 2000 + 2000 + 400 = 4400

Степень 3: CRC + CRR + RCR + RRC + RRR = 328 000

Степень 4: 17 360 000

Степень 5: >1 миллиарда

Степень 6: >20 миллиардов

Причина в том, что люди с большим количеством связей встречаются в сети чаще. Представьте человека, у которого 200 знакомых: он появляется в списке друзей у многих людей. Поэтому вероятность встретить в своей сети именно таких «очень связанных» людей выше. В результате среднее число друзей у наших друзей оказывается больше, чем у нас самих.

Этот парадокс показывает важную вещь: наше представление о системе может быть искажено самой структурой сети. Мы часто судим о мире по своему окружению, но это окружение не является случайной выборкой — оно сформировано сетями.

Сетевые модели помогают объяснить, почему некоторые идеи распространяются быстро, а другие нет. Если новшество попадает к участникам с большим количеством связей или к тем, кто соединяет разные группы, оно может быстро перейти из одной части сети в другую.

Модели обучения

Основные тезисы:
• люди и организации редко принимают идеальные решения с первого раза — стратегии формируются через опыт и обратную связь;
• устойчивые правила и практики часто возникают как результат постепенного обучения, а не заранее спроектированных решений;
• в сложных системах важно учитывать, что участники постоянно адаптируются и меняют своё поведение.

Модели обучения описывают, как люди и системы меняют своё поведение на основе опыта. В отличие от моделей, где участники сразу принимают оптимальные решения, здесь предполагается, что агенты постепенно учатся — наблюдая за результатами своих действий или за поведением других.

Решения в моделях обучения не являются фиксированными. Участники системы пробуют разные стратегии, получают обратную связь от среды и со временем начинают отдавать предпочтение тем вариантам, которые приносят лучший результат. Именно так формируются привычки, нормы поведения и устойчивые стратегии.

Один из базовых механизмов в моделях обучения — подкрепление. Если действие приводит к хорошему результату, вероятность того, что человек повторит его в будущем, увеличивается. Если результат оказывается плохим, стратегия постепенно вытесняется другими вариантами. Со временем система начинает стабилизироваться вокруг решений, которые оказываются наиболее успешными.

Такие модели хорошо объясняют, почему устойчивые правила поведения в обществе часто возникают не из-за централизованных решений, а из-за постепенного процесса обучения. Люди наблюдают за результатами — своими и чужими — и адаптируют своё поведение. В итоге система может прийти к устойчивому равновесию, даже если изначально участники не знали, какая стратегия является оптимальной.

Модели обучения показывают, что многие социальные и экономические системы со временем становятся более устойчивыми именно благодаря накоплению опыта и адаптации участников.

Функции Ляпунова и равновесие

В предыдущих моделях мы обсуждали, как участники системы принимают решения и как их поведение может со временем меняться. Но возникает важный вопрос: придёт ли такая система к устойчивому состоянию? Или она будет бесконечно колебаться, менять конфигурации и никогда не стабилизируется?

Чтобы ответить на этот вопрос, в математике используют инструмент, который называется функция Ляпунова.

Идея функции Ляпунова довольно интуитивная. Представим, что каждой конфигурации системы можно сопоставить некоторое число — своего рода «уровень нестабильности» системы. Пусть система находится в состоянии x. Тогда функция V(x) присваивает этому состоянию числовое значение.

Ключевое свойство функции Ляпунова состоит в том, что по мере изменения состояния системы её значение всегда уменьшается. То есть при переходе системы из состояния x_t в состояние x_{t+1} выполняется условие

пока система не достигла равновесия.

Интуитивно это можно представить как шарик, катящийся по поверхности вниз. Поверхность — это функция Ляпунова. Пока шарик не оказался в самой низкой точке, он продолжает двигаться вниз.

Из этого следует важное свойство: если для модели удаётся построить функцию Ляпунова, система обязательно придёт к равновесию. Значение функции не может уменьшаться бесконечно, потому что у неё есть минимальное значение. Рано или поздно система окажется в состоянии, где дальнейшее уменьшение невозможно — это и будет равновесие.

У функций Ляпунова есть ещё одно важное следствие. Если для модели можно построить такую функцию, то динамика системы сильно ограничена. В частности, система не может вести себя хаотично, не может бесконечно колебаться между состояниями и не может двигаться по циклу. Она неизбежно будет двигаться к устойчивой конфигурации.

Пейдж показывает, как это работает на примере модели локального большинства. В этой модели участники принимают решения, ориентируясь на своих соседей: если большинство соседей придерживается определённого варианта, участник со временем тоже переходит к нему.

Чтобы доказать, что такая система сходится, можно построить функцию Ляпунова, которая измеряет уровень несогласия в системе — например, количество связей между участниками, придерживающимися разных мнений. Когда участники меняют своё поведение, число таких конфликтных связей уменьшается. Следовательно, значение функции тоже уменьшается.

В какой-то момент дальнейшее уменьшение становится невозможным — и система приходит к устойчивому состоянию.

Есть отличный пример, как люди распределяются между разными местами в городе. Представим, что у каждого человека есть несколько вариантов провести время: сходить в спортзал, зайти в кафе, прогуляться по парку. При этом люди предпочитают менее многолюдные места, потому что там меньше очереди и комфортнее находиться.

Если какое-то место становится слишком перегруженным, люди начинают искать альтернативу и переходят в другие места. В результате со временем система может прийти к относительно стабильному распределению: люди оказываются распределены между локациями так, что сильных перегрузок почти нет.

Такая система может самоорганизоваться — без центрального управления. Именно так часто устроена жизнь городов: потоки людей, очереди в кафе, количество посетителей в магазинах или парках со временем стабилизируются благодаря тому, что люди реагируют на перегруженность.

Однако это работает не всегда. Хороший контрпример — Disney World. Каждый день в парк приходят новые посетители, которые не знают оптимальных маршрутов и не успевают «обучиться» системе. Если бы люди просто свободно выбирали аттракционы, то к одним из них выстраивались бы огромные очереди, а другие оставались бы почти пустыми.

Поэтому Disney вынужден вмешиваться в систему: посетителям предлагают бронировать время для аттракционов и сотрудники направляют потоки людей в менее загруженные зоны. Без такого управления система не смогла бы стабилизироваться сама.

В некоторых системах существует механизм, который постепенно уменьшает «перегруженность» или «несогласованность». Тогда можно построить функцию Ляпунова и доказать, что система придёт к равновесию.

Но если такого механизма нет — например, когда участники постоянно меняются или не успевают учиться на опыте — система может не самоорганизоваться, и тогда требуется внешнее управление.

Функции Ляпунова полезны ещё и тем, что позволяют оценить, сколько шагов может понадобиться системе, чтобы достичь равновесия. Если известно начальное значение функции и известно, на сколько она уменьшается на каждом шаге, можно получить верхнюю границу времени сходимости.

Выводы

Модельное мышление полезно тем, что позволяет по-новому посмотреть на сложные системы. Вместо одной универсальной теории Пейдж предлагает использовать набор моделей, каждая из которых подсвечивает свою часть реальности.

В этой статье мы разобрали несколько таких моделей: пороговые модели, сетевые эффекты, модели обучения и математический инструмент в виде функций Ляпунова. Все они показывают одну важную вещь: сложные системы редко ведут себя линейно. Небольшие изменения в структуре сети, поведении участников или правилах взаимодействия могут привести к совершенно разным результатам.

Для инженеров и разработчиков такие модели особенно полезны. Они помогают лучше понимать динамику систем:

как распространяются технологии и идеи;
почему одни продукты резко становятся популярными, а другие — нет;
как системы приходят к равновесию или, наоборот, остаются нестабильными.

Главная мысль книги проста: ни одна модель не объясняет мир полностью. Но если использовать несколько моделей одновременно, можно увидеть проблему под разными углами и принять более обоснованное решение.

Именно поэтому Пейдж называет такой подход модельным мышлением: это не набор формул, а способ анализировать сложные явления через разные интеллектуальные инструменты.

Расскажите, какая модель запомнилась больше всего? Применяете ли вы какие-то модели в жизни?